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网格画得越细,有限元分析结果就越精确?

有限元: 2024-04-24 14:19:41 阅读数: 1370 分享到:

有限元分析是一种广泛应用的数值方法,用于求解各种工程和科学问题中的微分方程。在有限元分析中,网格的划分是一个关键步骤,因为它直接影响到计算结果的精度和计算效率。那么,是否网格画得越细,分析结果就越精确呢?

 网格

我们要明确一点,网格的细化确实可以在一定程度上提高分析的精度。当网格足够细时,它能够更好地捕捉到问题域中的细节和变化,从而得到更准确的解。这是因为在有限元分析中,我们实际上是将连续的问题域离散化,用一系列的单元来近似表示。如果网格太粗,那么这些单元可能无法准确地描述问题域中的复杂变化,从而导致计算结果的误差。

 

然而,网格的细化并不是无限制的。当网格细化到一定程度后,继续增加网格数量可能不会显著提高分析的精度,甚至可能导致计算效率的降低。这是因为有限元分析中的误差来源不仅仅是网格的离散化,还包括其他因素,如舍入误差、迭代误差等。此外,当网格数量过多时,计算量会显著增加,导致计算时间变长,甚至可能超出计算机的内存限制。

 

很多时候,提高单元数量对于计算精度的提高,远远比不过选用更好更合理的单元类型。对于不同的求算对象,所需要的单元数量也不相同。一般来说,求算应力需要比求算位移更多的单元,而求算剪应力需要比正应力更多的单元。

 

举一个常见小例子,平面应力问题,计算一根悬臂梁的变形和应力:

悬臂梁的宽度为1,弹性模量30000,泊松比0.3,自由端承受竖向荷载100。求解A点的竖向位移、B点的正应力、C点的剪应力。

 

分别选用不同类型的四种单元计算,包括三节点三角形 CSTG、六节点三角形 LST、四节点四边形 IPLQ、八节点四边形 IPQQ。

 

首先计算位移和应力的理论解:

 

 

A 点的竖向位移为0.895,B 点的正应力为90,C 点的剪应力为7.5。

 

然后分别用不同数量的四种单元进行比较计算,所用软件为 GT STRUDL,单元名称按照 GT STRUDL 的命名,计算结果是这样的:

 

 

随着单元数量的增多,位移、正应力和剪应力结果都趋近于理论解。

 

对于不同的单元类型,趋近理论解的速度完全不同。同样是32个单元,CSTG 的位移结果是0.5072,正应力是33.11,与真实解 0.895 和 90 相差甚远。而32个单元的 LST 结果为0.8978和88.68,已经很接近于理论解 0.895 和 90。

 

同样是64个单元,IPLQ 的结果为 0.8715 、89.52,而 IPQQ 的结果则达到了 0.8999、90.01,可以说正应力结果已经非常非常接近理论解。

 

如果比较一下四边形单元的结果和三角形单元的结果,差异更加明显。对于位移结果来说,2000个CSTG单元的精度也比不上4个IPQQ单元的精度。

 

如果横坐标为单元数量,纵坐标为计算结果,绘制一张收敛图像的话,对于位移来说是这样的:

 


对于这四种单元类型,要想达到类似的可以接受的精度水平,需要的单元数量完全不同。

 

根据上面的分析,想要得到精度可以接受的计算结果,CSTG需要2000多个单元,而IPQQ仅需要64个。

 

那么结论就是,提高单元数量的确会提高计算精度,但前提是单元类型合理高效。对于提高精度来说,更合理的方法是选用更好的单元,而不是盲目的提高单元数量。


除了网格的划分外,还有其他一些因素也会影响有限元分析的精度。例如,所选用的有限元模型、边界条件的处理方式、材料参数的准确性等都会对计算结果产生影响。因此,在进行有限元分析时,需要综合考虑这些因素,以确保得到准确可靠的结果。

 

所以在选择有限元分析公司的时候,也需要注意甄别,找有经验、有技术背景的公司,才能在有限元分析结果上更精准,以避免时间的浪费及其他问题的发生。