基于ABAQUS的直齿圆柱齿轮模态分析

式中，[M] 为质量矩阵，[C] 为阻尼矩阵，[K] 为刚度矩阵；X(t) 为系统各点的位移响应向量；F(t) 为系统各点的激励力向量。

对于无阻尼无振动的自由系统来说，阻尼项和外力项都是零，于是上述微分方程可以化为

由于弹性体的自由振动可以分为一系列的简谐运动的叠加，为了确定弹性体的自由振动固有频率和振型，考虑简谐运动的解为

带入上式

这是一个关于{x(t)} 的n 元线性齐次代数方程组，该方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于0，即

该行列式称为特征行列式，将它展开可得到关于w 的n 次代数式此式称为系统频率方程

假定系统的刚度矩阵和质量矩阵都是正定的实对称矩阵，在数学上可以证明，在这一条件下，频率方程的n 个根均为正实根，他们对应系统的n 个固有频率，即这里假定各根互不相等，即没有重根，因此可以由小到大排列为w1²<w2² <w3²<...wn²，将求得的wi (i=1,2,3....n)带入简谐运动的解得相应的解{x(t)}，这就是系统的模态向量或振型向量。

1. 齿轮建模

由于直接在abaqus中建立齿轮的模型比较麻烦，故先在solidworks中建立齿轮的三维模型，然后再导入abaqus中。

图1 齿轮模型

2. 齿轮边界约束

对齿轮进行模态分析的目的主要是获得齿轮不同阶下的固有频率和振型，因而不需要对齿轮进行加载，只需约束其边界条件，根据齿轮的工作条件，对齿轮的内圆柱面和键槽面的x、y、z方向的平动位移进行约束。

3. 齿轮网格划分

对齿轮进行网格划分，最大整体尺寸为3，几何次数选择线性摄动，选取单元类型为四面体单元C3D4。

1. 材料不同

不同材料的弹性模量和泊松比及密度不同，进而会影响到齿轮的固有频率和振型，本文中选择灰口铸铁、球墨铸铁、铸钢、碳钢和合金钢。通过模态分析查看不同材料对于齿轮固有频率的影响，因为低阶频率对于结构的振动影响较大，所以仅取了模态的前6阶模态分析结果，图2是齿轮的振型图以及最大位移振动变化，由于不同材料的振型图较多，故只选取碳钢的齿轮的1、3、5阶振型图作为示意。

一阶振型图

三阶振型图

五阶振型图

图2 碳钢齿轮的1、3、5阶振型图

由振型图可以很直观的看出齿轮的振动形态，观察到齿根处和轮齿为齿轮的薄弱环节，在低阶情况下，通过分析不同材料齿轮的振型图，可以发现齿轮的振型主要为扭转和弯曲振动，齿轮的阶数越高，振动的位移越大，齿轮振动越剧烈，噪音越大。表1是不同材料的齿轮在不同阶下的固有频率，并将数据绘制成曲线图，如图3所示。

表1 不同材料齿轮的固有频率（单位：KHZ）

图3 不同材料与固有频率之间的关系

图3表明，对同一种材料，振动阶数越大，其固有频率越大在阶数相同的情况下，材料的弹性模量越大，其固有频率越大；并且在2-3阶之间，频率增大非常明显。

2. 腹板厚度不同

下面来研究腹板厚度对于齿轮固有频率的影响。齿轮的材料为碳钢，通过改变齿轮腹板的厚度来改变齿轮结构，通过腹板厚度的不同来分析齿轮固有频率的变化规律。该模态分析中腹板厚度取值为D=4,8,12,16,20，由于振型图较多，下图4是选取齿轮腹板厚度D=4时的1、3、5阶振型图作为示意。

一阶振型图

三阶振型图

五阶振型图

图4 腹板厚度D=4的齿轮1、3、5阶振型图

通过改变腹板厚度来改变齿轮的结构，来查看不同的齿轮结构对于齿轮的固有频率的影响，在齿轮铸造时候，可以作为腹板厚度的参考依据，选择合理的厚度，可以一步减轻齿轮的振动，减少齿轮振动时候的噪音，为齿轮结构的优化提供理论依据。

表2 不同腹板厚度齿轮的固有频率（单位：KHZ）

图5 不同腹板厚度与固有频率之间的关系

图5表明，在阶数相同的情况下，齿轮腹板的厚度越大，则齿轮的固有频率越大。随着阶数的增加，齿轮的固有频率会呈现递增的趋势；在腹板相同的情况下，阶数越高，则齿轮的固有频率越大。

• 齿轮的固有频率与齿轮的材料有关，在相同阶数的情况下，齿轮材料的弹性模量越大，则齿轮的固有频率越大；

• 齿轮的固有频率和齿轮的结构有关，在相同阶数的情况下，齿轮的固有频率随腹板厚度的增大而增大；

• 齿轮的低阶振型主要为扭转振动和弯曲振动，阶数越高，振动位移越大，从振型图可以看出齿轮的薄弱环节在齿根处和轮齿接触面上，从而可以对齿轮进行针对性优化。

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