有限元的未来是多物理场

一、数值计算概述

现代科学技术问题通常有三种研究方法：理论推导、科学实验和科学计算。科学技术可以帮助科学家揭示用物质实验手段尚不能表现的科学奥秘和科学规律，同时，它也是工程科学家的研究成果——理论、方法和科学数据的归总，成为推动工程和社会进步的最新生产力。数值计算方法则是科学计算核心。

数值计算技术诞生于上个世纪五十年代初，Bruce, G. H.和 Peaceman, D. W.模拟了一维气相不稳定径向和线形流。受当时计算机能力及解法限制，数值计算技术只是初步应用于求解一维问题。随着计算机技术和计算方法的发展，复杂的工程问题也可以采用离散化的数值计算方法，并借助计算机得到满足工程要求的数值解。

数值计算可理解为用计算机来做实验，比如某一特定LED（发光二极管）工作过程中内部电流密度、温度及热应力问题，通过计算并显示其计算结果。我们可以看到LED内部电流密度是否存在拥挤现象，内部温度分布的各个细节，以及由于温度的变化引起的应力集中是否存在，它的位置、大小及其随时间的变化等。

我们可以将数值计算分为以下几个步骤：

首先要建立反映问题本质的数学模型。具体说就是要建立反映问题中各物理量之间的偏微分方程及其相应的定解条件，这是数值计算的出发点。比如牛顿型流体流动的数学模型，就是著名的纳维—斯托克斯方程及其相应的定解条件。

数学模型建立之后，接下来就是求解这个模型。需要寻求高效、高准确度的计算方法。求解科学问题就是求解偏微分方程。

在确定了计算方法后，就可以开始编制程序并进行计算。实践表明这一部分工作是整个工作的主体，会占据整个工程的绝大部分时间。随着软件技术的发展，出现了应用于各领域的商业软件，运用这些软件使得这部分工作得到大大简化，缩短了模拟过程的周期。这样，科研人员能够将自己的时间和精力更多的投入到自己研究的问题上，而不是编写计算代码。

通过上述描述，用数值计算方法解决科学计算问题的一般过程可以用如下流程来形象地描述：

实际问题→ 数学模型→ 计算方法→ 计算程序→ 计算机计算→ 结果分析

在计算工作完成后，需要处理大量的计算结果数据。计算结果的图形后处理也是一项十分重要的工作，现在很多模拟工具已经能将图形编辑成连贯动画进行播放。

数值计算具有很多优点，但是它也有自己的局限性：

数值计算的结果是离散的，并且一定有误差，这是数值计算方法区别于解析法的主要特征。因此，如何控制数值误差，提高计算的精确度成为一款数值计算软件追求的首要目标。

数值计算的稳定性。控制误差的增长势头，保证计算过程稳定是数值计算方法的核心任务之一。特别是非线性问题的计算，往往出现计算结果不收敛，甚至得不到计算结果。

计算规模依赖于计算机硬件的发展。以气象研究为例，模拟1平方公里、1公里高度的一个区域，长宽高各自离散1000个网格，而耦合计算的基础方程为5个，计算规模将达到1000G的自由度。现在，全世界最快的千万亿次的超级计算机计算能力也仅仅达到1000G自由度。

多物理场耦合分析的局限性。人们针对各个科学和工程领域发展出各自的计算方法，并且开发出来相当多优秀的数值计算软件。但是，不同的算法、不同的软件平台下，多个物理场之间数据的传输将会遇到非常多的问题：数据存储格式的差异带来数据传输的丢失；不同软件之间的算法不统一导致无法实现多个物理场实时的耦合；以及编写接口软件带来的额外工作开销等问题，都将极大的限制了多物理场耦合分析的应用范围。

二、几种常见数值计算方法

FDM

有限差分方法 (FDM) 是计算机数值模拟最早采用的方法，它将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长必须根据实际的情况和稳定条件来决定。这限制了有限差分方法的应用范围，有限差分方法通常在电磁场分析中应用较多。

FEM

有限元方法 (FEM) 的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成，由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法适用性强，它最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展以及各个学科理论研究的深入，慢慢用于流体力学、电动力学、土力学、热力学等等领域。

FVM

有限体积法 (FVM) 又称为控制体积法，它将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的偏微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数）。这限制有限体积法的应用范围，有限体积法通常在流体分析中应用较多。

几种方法比较分析

有限差分方法相对比较直观，但是难以处理不规则区域，对区域的连续性等要求比较苛刻。使用有限差分方法的好处在于易于编程，易于并行计算。

有限元方法对偏微分方程的离散较容易，适合处理复杂区域，并且计算精度可靠。对于能使用偏微分方程描述的物理问题，都能使用有限元方法进行模拟。

有限体积法适于流体计算，可以应用于不规则网格，但由于有限体积法的截取误差是不定的，它的精度基本上只能是二阶。

因此，在实用性、适用性以及扩展性方面，有限元方法具有更大的优势，也是现在应用最为广泛的一种数值计算方法。因此，有限元法在多物理场方面的应用有得天独厚的优势，现在出现的优秀的实用型多物理场耦合分析软件大部分是基于有限元法实现的。

三、有限元的未来是多物理场耦合分析

早期的有限元主要关注于某个专业领域，比如应力或疲劳，这与当时计算机的计算能力相对应。但是，一般来说，物理现象都不是单独存在的。例如，只要运动就会产生热，而热反过来又影响一些材料属性，如电导率、化学反应速率、流体的粘性等等。这种物理系统的耦合就是我们所说的多物理场，分析起来比我们单独去分析一个物理场要复杂得多。常见的耦合问题有流-固耦合、电-热耦合、热-结构耦合、热-电-结构耦合、声-结构耦合、流体-反应耦合、流体-热耦合等。使用基于单元库的模拟软件，对上述各种耦合问题进行模拟，必须推导出相对应的耦合方程，其难度将是巨大的。

物理系统中每增加一个耦合的物理场，意味着数值计算的时候增加一个或多个未知的物理变量，同样的离散条件下，计算的自由度数将会扩大。在上个世纪90年代以前，由于计算机资源的缺乏，多物理场模拟仅仅停留在理论阶段，有限元建模也局限于对单个物理场的模拟，最常见的也就是对力学、传热、流体以及电磁场的模拟。看起来有限元仿真的命运好像也就是对单个物理场的模拟。

现在这种情况已经开始改变。经过数十年的努力，计算科学的发展为我们提供了更灵巧、更简洁而又更快速的算法，强劲的硬件配置，使得对多物理场的有限元模拟成为可能。新兴的有限元方法为多物理场分析提供了一个新的机遇，满足了工程师对真实物理系统的求解需要。

以流-固耦合来说，它是流体力学与固体力学两者之间相互作用产生的，其研究对象是固体在流场作用下的各种行为，以及固体变形或运动对流场的影响。流-固耦合的重要特征是两相介质之间的相互作用：固体在流体动载荷的作用下产生变形或运动，而固体的变形或运动反过来又会影响到流场，从而改变流场的分布。

压电扩音器 (Piezoacoustic transducer) 可以将电流转换为声学压力场，或者反过来将声场转换为电场，这里涉及三个不同的物理场：结构场、电场和流体中的声场。这种装置一般用在空气或者液体中的声源装置上，比如相控阵麦克风、超声生物成像仪、声纳传感器和声学生物治疗仪等，也可用于一些机械装置，比如喷墨机和压电马达等。

科学家已经证明采用偏微分方程组 (PDEs) 的方法可以求解多物理场现象。这些偏微分方程可以描述热量传递、电磁场和结构力学等各种物理过程。可以这样认定，多物理场的本质是偏微分方程组。随着计算机和计算技术的迅速发展，使得工程师可以轻松地用偏微分方程组描述现实中的多物理场问题。如果有一种算法或者软件能直接对这些偏微分方程组进行求解，对科学研究与工程计算进程的推进将是巨大的。

而多物理场问题的求解，其难度也是巨大的。在实际求解多物理场耦合问题时，需要考虑不同的耦合关系。根据耦合的相互作用关系，可以把耦合关系分为双向耦合和单向耦合。物理场A通过边界条件或源项对物理场B产生作用，而物理场B对A不产生作用，或其影响可被忽略，称这种耦合是单向耦合。比如在热应力问题中，温度场会产生明显的热应力，但是由于变形而导致的温度场的性质变化并不显著，这种问题可以简化为单向耦合问题。

如果物理场B也对A产生影响，则称这种耦合为双向耦合。比如电阻应变片上当电流改变时会产生热量，热量导致电阻率的改变，从而影响了电流的改变。

实际上，只要一个场对另外一个场发生作用，反作用也是必然要出现的。所以，使用间接耦合的方式求解多物理场问题，其出发点即存在误差。

综上所述，多物理场的计算，需要强大的计算机计算能力为后盾。计算机计算能力的提升使得有限元分析由单场分析到多场分析变成现实，未来的几年内，多物理场分析工具将会给学术界和工程界带来震惊。单调的“设计－校验”的设计方法将会慢慢被淘汰，虚拟造型技术将让科学家们的思想走得更远。

四、多物理场技术的应用及探讨

综上所述，利用基于单元库的方法实现多物理场耦合计算，每增加一种耦合分析类型，必须推导出该耦合方程，其代价将是巨大的。随着科学计算不断发展，人们研究领域的不断细化和深入，以及计算机计算能力的不断提高，未来多物理场计算的发展趋势可以归结为以下几点：

计算的功能得到更大的扩充。在同一个计算平台下实现多个科学领域的计算，结构力学、流体力学、电动力学、热力学、量子力学等等问题，将会在一个统一的仿真分析平台下完成。

多尺度耦合分析。现代科学问题通常是一个完整的系统工程，研究的尺度范围常常涉及到从米到微米甚至纳米级别。例如，对于飞机机翼的研究，机翼结构强度分析属于米量级的分析，而构成机翼的复合材料分子动力学模型则延伸到纳米量级。

结构、构件及其材料的一体化设计计算与模拟仿真。系统级的数值模拟将会越来越多，材料库的出现将会加速此进程。

实现真正的多物理场耦合计算。在同一个计算平台下，实现真正的、实时的多物理场耦合分析，区别于不同计算算法、不同软件数据互换造成极大的计算资源浪费。多物理场问题将不受算法或软件的限制，对任意的物理场进行组合从而计算任意的多物理场问题。比如，在电阻应变片上当电流改变时会产生热量，热量导致电阻率的改变，从而影响了电流的改变。此时，研究人员需要考虑热量改变而引起的应变问题，则在原有多物理场系统的基础上加入结构力学的因素。

基于网络的分布式并行、大规模计算，以及CAD/CAE的集成化、网络化、智能化。

来源：蒙茂洲科学网博客