【技术分享】有限元法数学原理的简单实例

 在数学层面说明有限元法的数学原理并不是一件容易的事情，因为当涉及到二维或者三维维度时，一个简单的问题都需要结合很多原理和公式来演算。为了让大家对有限元法的数学原理有个简单的认识和了解，今天有限元科技小编给大家介绍一个通俗易懂的例子来说明有限元法的(FEM)的数学思想，希望对大家有所启发。

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 如下图所示，一个圆截面杆件一端固定，另一端施加拉力P，计算杆件的变形以及受到的应力。

 模型是一个简单的杆件，可以简化为1D单元，1D单元有不同类型，本例设定为桁架单元(trusselement)，只能承受轴向力。如下图所示，为了方便计算，我们把杆件划分为2个单元和3个节点（节点a，b，c）。

 其中每个节点都受到相应的外力（由外部载荷P引起）和内力l（由内部应力引起）。当模型处于静力学平衡时(staticequilibrium)，节点力（作用于节点的内力和外力的合力）必须等于0，每个节点的受力平衡如下图所示：

 假设杆件变形过程中伸长量很小，对于单元1(element1)的应变有：

 其中和分别为节点a和b的位移(displacement)，L为单元1(element1)的长度。假设材料为弹性材料，杨氏模量为E(Young‘sModulus)，则由材料力学可得单元1的应力：

 作用于节点a的轴向力等于应力乘以横截面积（cross-sectionalarea），所以可以得到内力、材料属性以及位移的关系如下式：

 由力学平衡可得：

 即：

 同样的方法，运用力学平衡和材料力学公式可以得到节点b的平衡式如下：

 节点c的平衡式如下：

 将节点a，b，c的平衡式写成矩阵形式，得：

 这样，我们就得到了杆件的平衡方程，由于节点a固定，所以位移定于0，又联立Pb=Pc=P，这样我们就可以得到节点b和节点c的位移以及Pa，算出位移之后，我们就可以返回去算出应力值。

 其中EA/L就是我们常说的刚度，当然在很多时候，每个单元的刚度并不一样，如本例，如果两个单元的长度不一样，则刚度也不一样。当刚度不一样时，设单元1和单元2的刚度分别为K1和K2，此时平衡方程有：

 上面这个例子简单的说明了有限元法的数学原理，有限元法的核心思想就是离散化分割为有限个单元，将无穷转化为有限。实际问题的计算并没有这么简单，但思想是类似的，对力学问题来说，总可以列出形如下所示的外力和内力平衡的方程：

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